Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Кореизская средняя школа
имени Героя Советского Союза П.П.Кулешова»
муниципального образования городской округ Ялта
Республики Крым
Рассмотрено
на методическом
объединении
Прот. № 1 от 28.08. 2025 г.
Руководитель
______ Тулупов Г.Ф.
Согласовано
замдиректора по УВР
________ Щербина Г.И.
Утверждено
директор школы
_________ Баранов О.В.
Пр. № 242 от 28.08.2025 г.
Рабочая программа
по геометрии
(соответствует федеральной рабочей программе)
для обучающихся 10-11 классов
базовый уровень ФГОС СОО
на 2025-2026 учебный год
учителя Бубновой Антонины Ананьевны
2025 г.
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данная рабочая программа предназначена для 10 - 11 классов МБОУ «Кореизская
СШ»
Важность учебного курса геометрии на уровне среднего общего образования
обусловлена практической значимостью метапредметных и предметных результатов
обучения геометрии в направлении личностного развития обучающихся, формирования
функциональной математической грамотности, изучения других учебных дисциплин.
Развитие у обучающихся правильных представлений о сущности и происхождении
геометрических абстракций, соотношении реального и идеального, характере отражения
математической наукой явлений и процессов реального мира, месте геометрии в системе
наук и роли математического моделирования в научном познании и в практике способствует
формированию научного мировоззрения обучающихся, а также качеств мышления,
необходимых для адаптации в современном обществе. Геометрия является одним из базовых
предметов на уровне среднего общего образования, так как обеспечивает возможность
изучения как дисциплин естественно-научной направленности, так и гуманитарной.
Логическое мышление, формируемое при изучении обучающимися понятийных основ
геометрии и построении цепочки логических утверждений в ходе решения геометрических
задач, умение выдвигать и опровергать гипотезы непосредственно используются при
решении задач естественно-научного цикла, в частности из курса физики. Умение
ориентироваться в пространстве играет существенную роль во всех областях деятельности
человека. Ориентация человека во времени и пространстве – необходимое условие его
социального бытия, форма отражения окружающего мира, условие успешного познания и
активного преобразования действительности. Оперирование пространственными образами
объединяет разные виды учебной и трудовой деятельности, является одним из
профессионально важных качеств, поэтому актуальна задача формирования у обучающихся
пространственного мышления как разновидности образного мышления – существенного
компонента в подготовке к практической деятельности по многим направлениям. Цель
освоения программы учебного курса «Геометрия» на базовом уровне обучения –
общеобразовательное и общекультурное развитие обучающихся через обеспечение
возможности приобретения и использования систематических геометрических знаний и
действий, специфичных геометрии, возможности успешного продолжения образования по
специальностям, не связанным с прикладным использованием геометрии. Приоритетными
задачами освоения учебного курса «Геометрии» на базовом уровне в 10–11 классах
являются:
формирование представления о геометрии как части мировой культуры и осознание
ее взаимосвязи с окружающим миром; формирование представления о многогранниках и
телах вращения как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и
изучать разные явления окружающего мира; формирование умения распознавать на
чертежах, моделях и в реальном мире многогранники и тела вращения; овладение методами
решения задач на построения на изображениях пространственных фигур; формирование
умения оперировать основными понятиями о многогранниках и телах вращения и их
основными свойствами; овладение алгоритмами решения основных типов задач,
формирование умения проводить несложные доказательные рассуждения в ходе решения
стереометрических задач и задач с практическим содержанием; развитие интеллектуальных
и творческих способностей обучающихся, познавательной активности, исследовательских
умений, критичности мышления; формирование функциональной грамотности, релевантной
геометрии: умение распознавать проявления геометрических понятий, объектов и
закономерностей в реальных жизненных ситуациях и при изучении других учебных
предметов, проявления зависимостей и закономерностей, формулировать их на языке
геометрии и создавать геометрические модели, применять освоенный геометрический
аппарат для решения практико-ориентированных задач, интерпретировать и оценивать
полученные результаты. Отличительной особенностью программы по геометрии является
3
включение в курс стереометрии в начале его изучения задач, решаемых на уровне
интуитивного познания, и определенным образом организованная работа над ними, что
способствуют развитию логического и пространственного мышления, стимулирует
протекание интуитивных процессов, мотивирует к дальнейшему изучению предмета.
Предпочтение отдается наглядно-конструктивному методу обучения, то есть теоретические
знания имеют в своей основе чувственность предметнопрактической деятельности. Развитие
пространственных представлений у обучающихся в курсе стереометрии проводится за счет
решения задач на создание пространственных образов и задач на оперирование
пространственными образами. Создание образа проводится с опорой на наглядность, а
оперирование образом – в условиях отвлечения от наглядности, мысленного изменения его
исходного содержания. Основными содержательными линиями учебного курса «Геометрия»
в 10–11 классах являются: «Многогранники», «Прямые и плоскости в пространстве», «Тела
вращения», «Векторы и координаты в пространстве». Формирование логических умений
распределяется не только по содержательным линиям, но и по годам обучения на уровне
среднего общего образования.
Содержание образования, соответствующее предметным результатам освоения
программы по геометрии, распределенным по годам обучения, структурировано таким
образом, чтобы овладение геометрическими понятиями и навыками осуществлялось
последовательно и поступательно, с соблюдением принципа преемственности, чтобы новые
знания включались в общую систему геометрических представлений обучающихся,
расширяя и углубляя ее, образуя прочные множественные связи. Общее число часов,
рекомендованных для изучения учебного курса «Геометрия» – 102 часа: в 10 классе – 68
часов (2 часа в неделю), в 11 классе – 34 часа (1 час в неделю).
Рабочая программа по предмету «Геометрия» в 10-11 классах составлена в соответствии с:
Методическими рекомендациями об особенностях преподавания геометрии в
общеобразовательных организациях Республики Крым в 2025-2026 учебном году
Основной образовательной программы геометрии среднего общего образования
(ФГОС), утверждённой приказом МБОУ «Кореизская СШ» от 28.08.2025 г. № 236;
Учебными планами среднего общего образования (ФГОС) МБОУ «Кореизская СШ»,
утверждёнными приказом от 28.08.08.2025 года № 237;
Положением о рабочей программе учебных предметов МБОУ «Кореизская СШ»,
утверждённым приказом от 28.08.2025 №242.
В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом
среднего общего образования учебный предмет «геометрия» входит в предметную область
«математика» и является обязательным для изучения.
Содержание учебного предмета «геометрия», представленное в рабочей программе,
соответствует ФГОС СОО ФРП предмета «математика».
Учебным планом на изучение геометрии в 10 классе отводится - 68 ч. (2 часа в
неделю), в 11 классе отводится - 34 ч. (1 час в неделю).
Программа ориентирована на использование учебников:
4
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
10 КЛАСС
Прямые и плоскости в пространстве
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство. Понятие
об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и
скрещивающиеся прямые. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве:
параллельные прямые в пространстве, параллельность трех прямых, параллельность прямой
и плоскости. Углы с сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве.
Параллельность плоскостей: параллельные плоскости, свойства параллельных плоскостей.
Простейшие пространственные фигуры на плоскости: тетраэдр, куб, параллелепипед,
построение сечений. Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в
пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак
перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоскости.
Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, линейный угол
двугранного угла. Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости,
расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость. Перпендикулярность
плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.
Многогранники
Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и
невыпуклые многогранники, развертка многогранника. Призма: n-угольная призма, грани и
основания призмы, прямая и наклонная призмы, боковая и полная поверхность призмы.
Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его свойства. Пирамида: n-угольная
пирамида, грани и основание пирамиды, боковая и полная поверхность пирамиды,
правильная и усеченная пирамида. Элементы призмы и пирамиды. Правильные
многогранники: понятие правильного многогранника, правильная призма и правильная
пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб. Представление о
правильных многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Сечения призмы и пирамиды.
Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой, плоскости. Элементы
симметрии в пирамидах, параллелепипедах, правильных многогранниках. Вычисление
элементов многогранников: ребра, диагонали, углы. Площадь боковой поверхности и полной
поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой поверхности прямой
призмы. Площадь боковой поверхности и поверхности правильной пирамиды, теорема о
площади усеченной пирамиды. Понятие об объеме. Объем пирамиды, призмы. Подобные
тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных тел
11 КЛАСС
Тела вращения
Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, ось
цилиндрической поверхности. Цилиндр: основания и боковая поверхность, образующая и
ось, площадь боковой и полной поверхности. Коническая поверхность, образующие
конической поверхности, ось и вершина конической поверхности. Конус: основание и
вершина, образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности. Усеченный конус:
образующие и высота, основания и боковая поверхность. Сфера и шар: центр, радиус,
диаметр, площадь поверхности сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости,
касательная плоскость к сфере, площадь сферы. Изображение тел вращения на плоскости.
Развертка цилиндра и конуса. Комбинации тел вращения и многогранников. Многогранник,
описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения. Понятие об
объеме. Основные свойства объемов тел. Теорема об объеме прямоугольного
параллелепипеда и следствия из нее. Объем цилиндра, конуса. Объем шара и площадь
сферы. Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей,
объемами подобных тел. Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения
конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара.
5
Векторы и координаты в пространстве
Вектор на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение
вектора на число. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Правило
параллелепипеда. Решение задач, связанных с применением правил действий с векторами.
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Простейшие задачи
в координатах. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Вычисление углов
между прямыми и плоскостями. Координатно-векторный метод при решении
геометрических задач.
ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения программы учебного курса «Геометрия» к концу
обучения в 10 классе.
К концу обучения в 10 классе обучающийся получит следующие предметные
результаты: оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость; применять аксиомы
стереометрии и следствия из них при решении геометрических задач; оперировать
понятиями: параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей; классифицировать
взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве; оперировать понятиями:
двугранный угол, грани двугранного угла, ребро двугранного угла, линейный угол
двугранного угла, градусная мера двугранного угла; оперировать понятиями: многогранник,
выпуклый и невыпуклый многогранник, элементы многогранника, правильный
многогранник; распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма,
прямоугольный параллелепипед, куб); классифицировать многогранники, выбирая
основания для классификации (выпуклые и невыпуклые многогранники, правильные
многогранники, прямые и наклонные призмы, параллелепипеды); оперировать понятиями:
секущая плоскость, сечение многогранников; объяснять принципы построения сечений,
используя метод следов; строить сечения многогранников методом следов, выполнять
(выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку,
снизу; решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам,
применяя известные аналитические методы при решении стандартных математических задач
на вычисление расстояний между двумя точками, от точки до прямой, от точки до плоскости,
между скрещивающимися прямыми; решать задачи на нахождение геометрических величин
по образцам или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных математических задач на вычисление углов между скрещивающимися
прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, двугранных углов; вычислять
объемы и площади поверхностей многогранников (призма, пирамида) с применением
формул, вычислять соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных
многогранников оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость
симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры; извлекать, преобразовывать и
интерпретировать
информацию
о
пространственных
геометрических
фигурах,
представленную на чертежах и рисунках; применять геометрические факты для решения
стереометрических задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия
применения заданы в явной форме; применять простейшие программные средства и
электроннокоммуникационные системы при решении стереометрических задач; приводить
примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать проявление
законов геометрии в искусстве; применять полученные знания на практике: анализировать
реальные ситуации и применять изученные понятия в процессе поиска решения
математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и
теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением
геометрических величин.
Предметные результаты освоения программы учебного курса к концу обучения в 11
классе:
6
оперировать понятиями: цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической
поверхности, цилиндр, коническая поверхность, образующие конической поверхности,
конус, сферическая поверхность; распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар);
объяснять способы получения тел вращения; классифицировать взаимное расположение
сферы и плоскости; оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента, высота
сегмента, шаровой слой, основание шарового слоя, высота шарового слоя, шаровой сектор;
вычислять объемы и площади поверхностей тел вращения, геометрических тел с
применением формул; оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и
описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения; вычислять
соотношения между площадями поверхностей и объемами подобных тел; изображать
изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертежных инструментов; выполнять
(выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку,
снизу, строить сечения тел вращения; извлекать, интерпретировать и преобразовывать
информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и
рисунках; оперировать понятием вектор в пространстве; выполнять действия сложения
векторов, вычитания векторов и умножения вектора на число, объяснять, какими свойствами
они обладают; применять правило параллелепипеда; оперировать понятиями: декартовы
координаты в пространстве, вектор, модуль вектора, равенство векторов, координаты
вектора, угол между векторами, скалярное произведение векторов, коллинеарные и
компланарные векторы; находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол
между векторами, скалярное произведение, раскладывать вектор по двум неколлинеарным
векторам; задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат; применять
геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих несколько
шагов решения, если условия применения заданы в явной форме; решать простейшие
геометрические задачи на применение векторнокоординатного метода; решать задачи на
доказательство математических отношений и нахождение геометрических величин по
образцам или алгоритмам, применяя известные методы при решении стандартных
математических
задач;
применять
простейшие
программные
средства
и
электроннокоммуникационные системы при решении стереометрических задач; приводить
примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать проявление
законов геометрии в искусстве; применять полученные знания на практике: анализировать
реальные ситуации и применять изученные понятия в процессе поиска решения
математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и
теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением
геометрических величин.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 класс
7
№
п/п
Наименование
разделов
и тем учебного
предмета
Кол
ичес
тво
часо
в
Программное
содержание
1
Введение
в 10
стереометрию
Основные
понятия
стереометрии:
точка,
прямая,
плоскость,
пространство. Правила
изображения
на
рисунках: изображения
плоскостей,
параллельных прямых
(отрезков),
середины
отрезка.
Понятия:
пересекающиеся
плоскости,
пересекающиеся
прямая и плоскость.
Знакомство
с
многогранниками,
изображение
многогранников
на
рисунках,
на
проекционных
чертежах. Начальные
сведения о кубе и
пирамиде, их развертки
и модели. Сечения
многогранников.
Понятие
об
аксиоматическом
построении
стереометрии: аксиомы
стереометрии
и
следствия из них
2
Прямые
и 12
плоскости
в
пространстве.
Параллельность
прямых
и
плоскостей
Взаимное
расположение прямых
в
пространстве:
пересекающиеся,
параллельные
и
скрещивающиеся
прямые.
Параллельность
прямых и плоскостей в
пространстве:
параллельные прямые в
пространстве;
параллельность
трех
Основные
деятельности
обучающихся
виды Элект
ронны
е
(цифр
овые)
образо
вател
ьные
ресурс
ы
Актуализировать факты и Библи
методы
планиметрии, отека
релевантные теме. Получать ЦОК
представления
о https://
пространственных фигурах, m.edso
разбирать
простейшие o.ru
правила изображения этих
фигур. Изображать прямую и
плоскость
на
рисунке.
Распознавать многогранники,
пирамиду, куб, называть их
элементы. Делать рисунок
куба, пирамиды, находить
ошибки
в
неверных
изображениях. Знакомиться с
сечениями, с методом следов;
использовать для построения
сечения метод следов, кратко
записывать шаги построения
сечения. Распознавать вид
сечения и отношений, в
которых сечение делит ребра
куба,
находить
площадь
сечения.
Использовать
подобие при решении задач
на
построение
сечений.
Знакомиться
с
аксиоматическим
построением стереометрии, с
аксиомами стереометрии и
следствиями
из
них.
Иллюстрировать
аксиомы
рисунками и примерами из
окружающей обстановки
Актуализировать факты и https://
методы
планиметрии, m.edso
релевантные теме, проводить o.ru
аналогии.
Перечислять
возможные
способы
расположения двух прямых в
пространстве,
иллюстрировать
их
на
примерах.
Давать
определение
скрещивающихся
прямых,
формулировать
признак
скрещивающихся прямых и
8
прямых;
параллельность прямой
и плоскости. Углы с
сонаправленными
сторонами; угол между
прямыми
в
пространстве.
Параллельность
плоскостей:
параллельные
плоскости;
свойства
параллельных
плоскостей.
Простейшие
пространственные
фигуры на плоскости:
тетраэдр,
куб,
параллелепипед;
построение сечений
3
Перпендикуляр
12
Перпендикулярность
применять его при решении
задач. Распознавать призму,
называть
ее
элементы.
Строить сечения призмы на
готовых
чертежах.
Перечислять
возможные
способы
взаимного
расположения
прямой
и
плоскости в пространстве,
приводить соответствующие
примеры из реальной жизни.
Давать
определение
параллельности прямой и
плоскости.
Формулировать
признак
параллельности
прямой
и
плоскости,
утверждение
о
прямой
пересечения двух плоскостей,
проходящих
через
параллельные
прямые.
Решать практические задачи
на
построение
сечений
многогранника.
Объяснять
случаи
взаимного
расположения
плоскостей.
Давать
определение
параллельных
плоскостей;
приводить
примеры
из
реальной
жизни
и
окружающей
обстановки,
иллюстрирующие
параллельность плоскостей.
Использовать
признак
параллельности
двух
плоскостей,
свойства
параллельных плоскостей при
решении задач на построение.
Объяснять, что называется
параллельным
проектированием
и
как
выполняется проектирование
фигур
на
плоскость.
Изображать в параллельной
проекции
различные
геометрические
фигуры.
Моделировать
реальные
ситуации на языке геометрии,
исследовать
построенные
модели с использованием
геометрических
понятий.
Использовать при решении
задач на построение сечений
понятие
параллельности,
признаки
и
свойства
параллельных прямых на
плоскости
Актуализировать факты и https://
9
ность прямых и
плоскостей
прямой и плоскости:
перпендикулярные
прямые в пространстве,
прямые параллельные и
перпендикулярные
к
плоскости,
признак
перпендикулярности
прямой и плоскости,
теорема
о
прямой
перпендикулярной
плоскости
Перпендикуляр
и
наклонные: расстояние
от точки до плоскости,
расстояние от прямой
до плоскости
методы
планиметрии, m.edso
релевантные теме, проводить o.ru
аналогии. Объяснять, какой
угол называется углом между
пересекающимися прямыми,
скрещивающимися прямыми
в
пространстве.
Давать
определение
перпендикулярных прямых и
прямой, перпендикулярной к
плоскости. Находить углы
между
скрещивающимися
прямыми в кубе и пирамиде.
Приводить
примеры
из
реальной
жизни
и
окружающей
обстановки,
иллюстрирующие
перпендикулярность прямых
в
пространстве
и
перпендикулярность прямой к
плоскости.
Формулировать
признак перпендикулярности
прямой
и
плоскости,
применять его на практике:
объяснять
перпендикулярность
ребра
куба и диагонали его грани,
которая его не содержит,
находить длину диагонали
куба.
Вычислять
высоту
правильной треугольной и
правильной четырехугольной
пирамид по длинам ребер.
Решать задачи на вычисления,
связанные
с
перпендикулярностью прямой
и
плоскости,
с
использованием при решении
планиметрических фактов и
методов.
Объяснять,
что
называют перпендикуляром и
наклонной
из
точки
к
плоскости;
проекцией
наклонной на плоскость.
Объяснять, что называется
расстоянием: от точки до
плоскости;
между
параллельными плоскостями;
между
прямой
и
параллельной ей плоскостью;
между
скрещивающимися
прямыми.
Находить
эти
расстояния в простых случаях
в кубе, пирамиде, призме.
Моделировать
реальные
ситуации на языке геометрии,
исследовать
построенные
10
4
Углы
между 10
прямыми
и
плоскостями
Углы в пространстве:
угол между прямой и
плоскостью;
двугранный
угол,
линейный
угол
двугранного
угла.
Перпендикулярность
плоскостей:
признак
перпендикулярности
двух
плоскостей.
Теорема
о
трех
перпендикулярах
5
Многогранники
Понятие
многогранника,
основные
элементы
многогранника,
11
модели с использованием
геометрических
понятий.
Использовать при решении
задач на построение сечений
теорему Пифагора, свойства
прямоугольных
треугольников
Актуализировать факты и
методы
планиметрии,
релевантные теме, проводить
аналогии. Давать определение
угла
между
прямой
и
плоскостью, формулировать
теорему
о
трех
перпендикулярах и обратную
к ней. Находить угол между
прямой и плоскостью в
многограннике, расстояние от
точки
до
прямой
на
плоскости, используя теорему
о трех перпендикулярах.
Проводить
на
чертеже
перпендикуляр: из точки на
прямую;
из
точки
на
плоскость.
Давать
определение
двугранного
угла
и
его
элементов.
Объяснять равенство всех
линейных углов двугранного
угла. Находить на чертеже
двугранный угол при ребре
пирамиды,
призмы,
параллелепипеда.
Давать
определение
угла
между
плоскостями.
Давать
определение
и
формулировать
признак
взаимно перпендикулярных
плоскостей. Находить углы
между плоскостями в кубе и
пирамиде. Использовать при
решении задач основные
теоремы
и
методы
планиметрии. Моделировать
реальные ситуации на языке
геометрии,
исследовать
построенные
модели
с
использованием
геометрических
понятий.
Использовать при решении
задач на построение сечений
соотношения
в
прямоугольном треугольнике
Актуализировать факты и
методы
планиметрии,
релевантные теме, проводить
аналогии. Давать определение
https://
m.edso
o.ru
https://
m.edso
o.ru
11
выпуклые
и
невыпуклые
многогранники;
развертка
многогранника.
Призма:
n-угольная
призма;
грани
и
основания
призмы;
прямая и наклонная
призмы; боковая и
полная
поверхность
призмы.
Параллелепипед,
прямоугольный
параллелепипед и его
свойства. Пирамида: nугольная
пирамида,
грани и основание
пирамиды; боковая и
полная
поверхность
пирамиды; правильная
и усеченная пирамида.
Элементы призмы и
пирамиды. Правильные
многогранники:
понятие правильного
многогранника;
правильная призма и
правильная пирамида;
правильная треугольная
пирамида
и
правильный тетраэдр;
куб. Представление о
правильных
многогранниках:
октаэдр, додекаэдр и
икосаэдр. Симметрия в
пространстве:
симметрия
относительно
точки,
прямой,
плоскости.
Элементы симметрии в
пирамидах,
параллелепипедах,
правильных
многогранниках.
Вычисление элементов
многогранников: ребра,
диагонали,
углы.
Площадь
боковой
поверхности и полной
поверхности
прямой
призмы,
площадь
оснований, теорема о
боковой поверхности
прямой
призмы.
Площадь
боковой
параллелепипеда,
распознавать его виды и
изучать свойства. Давать
определение
пирамиды,
распознавать виды пирамид,
формулировать
свойства
ребер, граней и высоты
правильной
пирамиды.
Находить площадь полной и
боковой
поверхности
пирамиды.
Давать
определение
усеченной
пирамиды,
называть
ее
элементы.
Формулировать
теорему о площади боковой
поверхности
правильной
усеченной пирамиды. Решать
задачи
на
вычисление,
связанные с пирамидами, а
также задачи на построение
сечений. Давать определение
призмы, распознавать виды
призм, изображать призмы на
чертеже. Находить площадь
полной
или
боковой
поверхности призмы. Изучать
соотношения Эйлера для
числа ребер, граней и вершин
многогранника. Изучать виды
правильных многогранников,
их названия и количество
граней. Изучать симметрию
многогранников. Объяснять,
какие
точки
называются
симметричными
относительно данной точки,
прямой или плоскости, что
называют центром, осью или
плоскостью
симметрии
фигуры. Приводить примеры
симметричных
фигур
в
архитектуре,
технике,
природе.
Моделировать
реальные ситуации на языке
геометрии,
исследовать
построенные
модели
с
использованием
геометрических
понятий,
использовать
подобие
многогранников
12
6
Объемы
9
многогранников
7
Повторение и 4
обобщение
Общее
количество
часов
11 класс
68
поверхности
и
поверхности
правильной пирамиды,
теорема о площади
боковой поверхности
усеченной пирамиды
Понятие об объеме. Актуализировать факты и
Объем
пирамиды, методы
планиметрии,
призмы
релевантные теме. Объяснять,
как измеряются объемы тел,
проводя
аналогию
с
измерением
площадей
многоугольников.
Формулировать
основные
свойства объемов. Изучать,
выводить формулы объема
прямоугольного
параллелепипеда, призмы и
пирамиды. Вычислять объем
призмы и пирамиды по их
элементам. Применять объем
для
решения
стереометрических задач и
для
нахождения
геометрических
величин.
Моделировать
реальные
ситуации на языке геометрии,
исследовать
построенные
модели с использованием
геометрических понятий
Построение сечений в Строить
сечение
многограннике.
многогранника
методом
Вычисление
следов. Давать определение
расстояний:
между расстояния между фигурами.
двумя
точками,
от Находить расстояние между
точки до прямой, от параллельными плоскостями,
точки до плоскости; между
плоскостью
и
между
параллельной ей прямой,
скрещивающимися
между
скрещивающимися
прямыми. Вычисление прямыми. Строить линейный
углов:
между угол двугранного угла на
скрещивающимися
чертеже многогранника и
прямыми,
между находить
его
величину.
прямой и плоскостью, Находить
углы
между
двугранных
углов, плоскостями
в
углов
между многогранниках
плоскостями
https://
m.edso
o.ru
https://
m.edso
o.ru
13
№
п/п
Наименование
разделов
и тем учебного
предмета
Кол
ичес
тво
часо
в
Программное
содержание
Основные
деятельности
обучающихся
виды Элект
ронны
е
образо
вател
ьные
ресурс
ы
14
1
Тела вращения
12
Сфера и шар: центр,
радиус,
диаметр;
площадь поверхности
сферы.
Взаимное
расположение сферы и
плоскости; касательная
плоскость к сфере;
площадь
сферы.
Изображение
сферы,
шара на плоскости.
Сечения шара
Цилиндрическая
поверхность,
образующие
цилиндрической
поверхности,
ось
цилиндрической
поверхности. Цилиндр:
основания и боковая
поверхность,
образующая и ось;
площадь боковой и
полной
поверхности.
Изображение цилиндра
на плоскости. Развертка
цилиндра.
Сечения
цилиндра (плоскостью,
параллельной
или
перпендикулярной оси
цилиндра)
Коническая
поверхность,
образующие
конической
поверхности, ось и
вершина
конической
поверхности.
Конус:
основание и вершина,
образующая и ось;
площадь боковой и
полной
поверхности.
Усеченный
конус:
образующие и высота;
Актуализировать факты и
методы
планиметрии,
релевантные теме, проводить
аналогии. Давать определения
сферы и шара, их центра,
радиуса,
диаметра.
Определять сферу как фигуру
вращения
окружности.
Исследовать
взаимное
расположение
сферы
и
плоскости,
двух
сфер,
иллюстрировать
это
на
чертежах
и
рисунках.
Формулировать определение
касательной плоскости к
сфере, свойство и признак
касательной
плоскости.
Знакомиться
с
геодезическими линиями на
сфере
Объяснять, что называют
цилиндром, называть его
элементы.
Изучать,
объяснять,
как
получить
цилиндр путем вращения
прямоугольника. Выводить,
использовать формулы для
вычисления площади боковой
поверхности
цилиндра.
Изучать,
распознавать
развертку
цилиндра.
Изображать цилиндр и его
сечения
плоскостью,
проходящей через его ось,
параллельной
или
перпендикулярной
оси.
Находить
площади
этих
сечений.
Моделировать
реальные ситуации на языке
геометрии,
исследовать
построенные
модели
с
использованием
геометрических понятий
Объяснять,
какое
тело
называют круговым конусом,
называть
его
элементы.
Изучать,
объяснять,
как
получить
конус
путем
вращения
прямоугольного
треугольника.
Изображать
конус
и
его
сечения
плоскостью,
проходящей
через ось, и плоскостью,
перпендикулярной к оси.
Изучать,
распознавать
развертку конуса. Выводить,
Библи
отека
ЦОК
https://
m.edso
o.ru
15
2
Объемы тел
5
основания и боковая
поверхность.
Изображение конуса на
плоскости.
Развертка
конуса. Сечения конуса
(плоскостью,
параллельной
основанию,
и
плоскостью,
проходящей
через
вершину)
использовать формулы для
вычисления площади боковой
поверхности
конуса.
Находить площади сечений,
проходящих через вершину
конуса
или
перпендикулярных его оси.
Объяснять,
какое
тело
называется
усеченным
конусом. Изучать, объяснять,
как его получить путем
вращения
прямоугольной
трапеции.
Выводить,
применять
формулу
для
вычисления площади боковой
поверхности
усеченного
конуса
Комбинация
тел
вращения
и
многогранников.
Многогранник,
описанный
около
сферы;
сфера,
вписанная
в
многогранник или в
тело вращения
Актуализировать факты и
методы
планиметрии,
релевантные теме, проводить
аналогии.
Решать
стереометрические
задачи,
связанные с телами вращения,
построением сечений тел
вращения, с комбинациями
тел
вращения
и
многогранников
на
нахождение геометрических
величин. Использовать при
решении стереометрических
задач
планиметрические
факты и методы задачи на
вычисление и доказательство.
Моделировать
реальные
ситуации на языке геометрии,
исследовать
построенные
модели с использованием
геометрических понятий
Понятие об объеме.
Основные
свойства
объемов тел. Объем
цилиндра,
конуса.
Объем шара и площадь
сферы Подобные тела в
пространстве.
Соотношения
между
площадями
поверхностей,
объемами
подобных
тел
Актуализировать факты и https://
методы
планиметрии, m.edso
релевантные теме, проводить o.ru
аналогии.
Выводить,
использовать
формулы
объемов: призмы, цилиндра,
пирамиды, конуса; усеченной
пирамиды
и
усеченного
конуса.
Решать
стереометрические
задачи,
связанные с вычислением
объемов.
Формулировать
определение
шарового
сегмента, шарового слоя,
шарового сектора. Применять
формулы для нахождения
объемов шарового сегмента,
16
3
Векторы
и 10
координаты в
пространстве
Вектор на плоскости и
в
пространстве.
Сложение и вычитание
векторов. Умножение
вектора
на
число.
Разложение вектора по
трем некомпланарным
векторам.
Правило
параллелепипеда.
Решение
задач,
связанных
с
применением
правил
действий с векторами.
Прямоугольная система
координат
в
пространстве.
Координаты вектора.
Простейшие задачи в
координатах.
Угол
между
векторами.
Скалярное
произведение векторов.
Вычисление
углов
между
прямыми
и
плоскостями.
Координатновекторный метод при
решении
геометрических задач
4
Повторение и 7
обобщение
Основные
фигуры,
факты, теоремы курса
планиметрии.
Задачи
шарового сектора Решать
стереометрические
задачи,
связанные с объемом шара и
площадью
сферы.
Моделировать
реальные
ситуации на языке геометрии,
исследовать
построенные
модели с использованием
геометрических
понятий.
Актуализировать факты и
методы
планиметрии,
релевантные теме, проводить
аналогии.
Решать
стереометрические
задачи,
связанные с соотношением
объемов
и
поверхностей
подобных тел в пространстве.
Моделировать
реальные
ситуации на языке геометрии,
исследовать
построенные
модели с использованием
геометрических понятий
Актуализировать факты и
методы
планиметрии,
релевантные теме, проводить
аналогии.
Оперировать
понятием
вектор
в
пространстве. Формулировать
правило параллелепипеда при
сложении
векторов.
Складывать,
вычитать
векторы, умножать вектор на
число. Изучать основные
свойства
этих
операций.
Давать
определение
прямоугольной
системы
координат в пространстве.
Выразить координаты вектора
через координаты его концов.
Выводить,
использовать
формулу длины вектора и
расстояния между точками.
Выражать
скалярное
произведение векторов через
их координаты, вычислять
угол между двумя векторами,
двумя прямыми. Находить
угол
между
прямой
и
плоскостью,
угол
между
двумя
плоскостями
аналитическими
методами.
Выводить,
использовать
формулу расстояния от точки
до плоскости
Решать простейшие задачи на
нахождение длин и углов в
геометрических
фигурах,
https://
m.edso
o.ru
https://
m.edso
o.ru
17
планиметрии и методы
их решения. Основные
фигуры,
факты,
теоремы
курса
стереометрии. Задачи
стереометрии и методы
их решения
Общее
количество
часов
применять теорему Пифагора,
теоремы синусов и косинусов.
Находить
площадь
многоугольника,
круга.
Распознавать
подобные
фигуры, находить отношения
длин
и
площадей.
Использовать при решении
стереометрических
задач
факты и методы планиметрии
34
ПЕРЕЧЕНЬ (КОДИФИКАТОР) ПРОВЕРЯЕМЫХ ТРЕБОВАНИЙ К РЕЗУЛЬТАТАМ
ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ О С Н О В Н О Г О
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
10 КЛАСС
Проверяемые
программы
Код
проверяемого
результата
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
требования
к
результатам
освоения
основной
образовательной
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы основного общего образования
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: рациональное и действительное число, обыкновенная
и десятичная дробь, проценты
Выполнять арифметические операции с рациональными и действительными
числами
Выполнять приближенные вычисления, используя правила округления, делать
прикидку и оценку результата вычислений
Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная форма
записи действительного числа, корень натуральной степени; использовать
подходящую форму записи действительных чисел для решения практических
задач и представления данных
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного угла;
использовать запись произвольного угла через обратные тригонометрические
функции
Уравнения и неравенства
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое,
рациональное, иррациональное уравнение, неравенство, тригонометрическое
уравнение
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать
тригонометрические уравнения
Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных
выражений и решать основные типы целых, рациональных и иррациональных
уравнений и неравенств
Применять уравнения и неравенства для решения математических задач и
задач из различных областей науки и реальной жизни
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения,
уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с
использованием аппарата алгебры
Функции и графики
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область
определения и множество значений функции, график функции, взаимно
18
3.2
3.3
3.4
3.5
4
4.1
4.2
4.3
4.4
5
5.1
5.2
5.3
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
обратные функции
Оперировать понятиями: четность и нечетность функции, нули функции,
промежутки знакопостоянства
Использовать графики функций для решения уравнений
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной функции,
степенной функции с целым показателем
Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей
при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни, выражать
формулами зависимости между величинами
Начала математического анализа
Оперировать
понятиями:
последовательность,
арифметическая
и
геометрическая прогрессии
Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Задавать последовательности различными способами
Использовать свойства последовательностей и прогрессий для решения
реальных задач прикладного характера
Множества и логика
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами
Использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов
Оперировать понятиями: определение, теорема, следствие, доказательство
Теория вероятностей и статистика
Читать и строить таблицы и диаграммы
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее,
наименьшее значение, размах массива числовых данных
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие,
элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта; находить
вероятности в опытах с равновозможными случайными событиями, находить и
сравнивать вероятности событий в изученных случайных экспериментах
Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных
событий, событие, противоположное данному событию; пользоваться
диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события;
находить вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева
случайного опыта
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия
испытаний, успех и неудача; находить вероятности событий в серии
независимых испытаний до первого успеха, находить вероятности событий в
серии испытаний Бернулли
Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
диаграмма распределения
Геометрия
Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость
Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении
геометрических задач
Оперировать понятиями: параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей
Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в
пространстве
Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла, ребро
двугранного угла, линейный угол двугранного угла, градусная мера
двугранного угла
Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый
19
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
многогранник, элементы многогранника, правильный многогранник
Распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма,
прямоугольный параллелепипед, куб)
Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации
(выпуклые и невыпуклые многогранники, правильные многогранники, прямые
и наклонные призмы, параллелепипеды)
Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников
Объяснять принципы построения сечений многогранников, используя метод
следов
Строить сечения многогранников методом следов, выполнять (выносные)
плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку,
снизу
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных математических задач на вычисление расстояний между двумя
точками, от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися
прямыми
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных математических задач на вычисление углов между
скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между
плоскостями, двугранных углов
Вычислять объемы и площади поверхностей многогранников (призма,
пирамида) с применением формул, вычислять соотношения между площадями
поверхностей, объемами подобных многогранников
Оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость
симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры
Извлекать,
преобразовывать
и
интерпретировать
информацию
о
пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и
рисунках
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач,
предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы
в явной форме
Применять
простейшие
программные
средства
и
электроннокоммуникационные системы при решении стереометрических задач
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни,
распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации
и применять изученные понятия в процессе поиска решения математически
сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке
геометрии,
исследовать
построенные
модели
с
использованием
геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические
задачи, связанные с нахождением геометрических величин
Проверяемые элементы содержания
Код
Проверяемый элемент содержания
1
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
1.1
1.2
1.3
бесконечные
периодические
дроби.
Арифметические
операции
с
рациональными числами, преобразования числовых выражений. Применение
дробей и процентов для решения прикладных задач из различных отраслей
знаний и реальной жизни
Действительные
числа.
Рациональные
и
иррациональные
числа.
Арифметические операции с действительными числами. Приближенные
вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений
Степень с целым показателем. Стандартная форма записи действительного
числа. Использование подходящей формы записи действительных чисел для
20
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
5
5.1
5.2
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
решения практических задач и представления данных
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования
Преобразование
тригонометрических
выражений.
Основные
тригонометрические формулы
Уравнение, корень уравнения. Неравенство, решение неравенства. Метод
интервалов
Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств
Решение иррациональных уравнений и неравенств
Решение тригонометрических уравнений
Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач
из различных областей науки и реальной жизни
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Четные и нечетные функции
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Ее свойства и график.
Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций
числового аргумента
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Монотонные
последовательности
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Формула сложных процентов. Использование прогрессии для
решения реальных задач прикладного характера
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна.
Применение теоретико-множественного аппарата для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов
Определение, теорема, следствие, доказательство
Теория вероятностей и статистика
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах,
дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные
события (исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и
вероятности событий. Случайные опыты с равновозможными элементарными
событиями. Вероятности событий в опытах с равновозможными
элементарными событиями
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные
события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной вероятности. Независимые события
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число
сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые
испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха. Серия
независимых испытаний Бернулли
21
6.7
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
11 класс
Проверяемые
программы
Код
проверяемого
результата
1
1.1
1.2
1.3
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения.
Примеры распределений, в том числе геометрическое и биномиальное
Геометрия
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство.
Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы
стереометрии и следствия из них
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся,
параллельные и скрещивающиеся прямые. Параллельность прямых и
плоскостей в пространстве: параллельные прямые в пространстве,
параллельность трех прямых, параллельность прямой и плоскости. Углы с
сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве.
Параллельность плоскостей: параллельные плоскости, свойства параллельных
плоскостей. Простейшие пространственные фигуры на плоскости: тетраэдр,
куб, параллелепипед, построение сечений
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в
пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак
перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной
плоскости. Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью,
двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Перпендикуляр и
наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до
плоскости, проекция фигуры на плоскость. Перпендикулярность плоскостей:
признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о трех
перпендикулярах
Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и
невыпуклые многогранники, развертка многогранника. Призма: n-угольная
призма, грани и основания призмы, прямая и наклонная призмы, боковая и
полная поверхность призмы. Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед
и его свойства. Пирамида: n-угольная пирамида, грани и основание пирамиды,
боковая и полная поверхность пирамиды, правильная и усеченная пирамида.
Элементы призмы и пирамиды. Правильные многогранники: понятие
правильного многогранника, правильная призма и правильная пирамида,
правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб. Представление
о правильных многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой, плоскости.
Элементы симметрии в пирамидах, параллелепипедах, правильных
многогранниках
Вычисление элементов многогранников: ребра, диагонали, углы. Площадь
боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь
оснований, теорема о боковой поверхности прямой призмы. Площадь боковой
поверхности и поверхности правильной пирамиды. Понятие об объеме. Объем
пирамиды, призмы
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей,
объемами подобных тел
требования
к
результатам
освоения
основной
образовательной
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы основного общего образования
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: натуральное, целое число; использовать признаки
делимости целых чисел, разложение числа на простые множители для решения
задач
Оперировать понятием: степень с рациональным показателем
Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные
логарифмы
22
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1126126
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5
5.1
5.2
5.3
5.4
6
6.1
Уравнения и неравенства
Применять свойства степени для преобразования выражений, оперировать
понятиями: показательное уравнение и неравенство; решать основные типы
показательных уравнений и неравенств
Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы; оперировать
понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство; решать основные типы
логарифмических уравнений и неравенств
Находить решения простейших тригонометрических неравенств
Оперировать понятиями: система линейных уравнений и ее решение;
использовать систему линейных уравнений для решения практических задач
Находить решения простейших систем и совокупностей рациональных
уравнений и неравенств
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения,
уравнения, неравенства и системы по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры
Функции и графики
Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки монотонности
функции, точки экстремума функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке; использовать их для исследования функции, заданной
графиком
Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и
тригонометрических функций; изображать их на координатной плоскости и
использовать для решения уравнений и неравенств
Изображать на координатной плоскости графики линейных уравнений и
использовать их для решения системы линейных уравнений
Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей из
других учебных дисциплин
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: непрерывная функция, производная функции;
использовать геометрический и физический смысл производной для решения
задач
Находить производные элементарных функций, вычислять производные
суммы, произведения, частного функций
Использовать производную для исследования функции на монотонность и
экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков
Использовать производную для нахождения наилучшего решения в
прикладных, в том числе социально-экономических, задачах
Оперировать понятиями: первообразная и интеграл; понимать геометрический
и физический смысл интеграла
Находить первообразные элементарных функций, вычислять интеграл по
формуле Ньютона – Лейбница
Решать прикладные задачи, в том числе социальноэкономического и
физического характера, средствами математического анализа
Теория вероятностей и статистика
Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или
с помощью диаграмм
Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры того,
как применяется математическое ожидание случайной величины, находить
математическое ожидание по данному распределению
Иметь представление о законе больших чисел
Иметь представление о нормальном распределении
Геометрия
Оперировать понятиями: цилиндрическая поверхность, образующие
цилиндрической поверхности, цилиндр, коническая поверхность, образующие
конической поверхности, конус, сферическая поверхность
23
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар)
Объяснять способы получения тел вращения
Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости
Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента, высота
сегмента, шаровой слой, основание шарового слоя, высота шарового слоя,
шаровой сектор
Вычислять объемы и площади поверхностей тел вращения, геометрических тел
с применением формул
Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и описанный
около сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения
Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объемами
подобных тел
Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертежных
инструментов
Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных
фигур: вид сверху, сбоку, снизу; строить сечения тел вращения
Извлекать,
интерпретировать
и
преобразовывать
информацию
о
пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и
рисунках
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач,
предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы
в явной форме
Оперировать понятием: вектор в пространстве
Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и умножения
вектора на число, объяснять, какими свойствами они обладают
Применять правило параллелепипеда при сложении векторов
Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве, вектор,
модуль вектора, равенство векторов, координаты вектора, угол между
векторами, скалярное произведение векторов, коллинеарные и компланарные
векторы
Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол между
векторами, скалярное произведение, раскладывать вектор по двум
неколлинеарным векторам
Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат
Решать простейшие геометрические задачи на применение векторнокоординатного метода
Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение
геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные
методы при решении стандартных математических задач
Применять
простейшие
программные
средства
и
электроннокоммуникационные системы при решении стереометрических задач
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни,
распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации
и применять изученные понятия в процессе поиска решения математически
сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке
геометрии,
исследовать
построенные
модели
с
использованием
геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические
задачи, связанные с нахождением геометрических величин
Проверяемые элементы содержания
Код
Проверяемый элемент содержания
1
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.1
Степень с рациональным показателем. Свойства степени
1.2
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.3
24
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5
5.1
5.2
5.3
6
6.1
6.2
Уравнения и неравенства
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем
Примеры тригонометрических неравенств
Показательные уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства
Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью
системы линейных уравнений
Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач
и задач из различных областей науки и реальной жизни
Функции и графики
Функция. Периодические функции. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Использование графиков функций для решения уравнений и линейных систем
Использование графиков функций для исследования процессов и
зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных
предметов и реальной жизни
Начала математического анализа
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения неравенств
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной
Производные элементарных функций. Формулы нахождения производной
суммы, произведения и частного функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных
задачах, для определения скорости процесса, заданного формулой или
графиком
Первообразная. Таблица первообразных
Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычисление интеграла по
формуле Ньютона – Лейбница
Теория вероятностей и статистика
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия и стандартное отклонение. Примеры применения математического
ожидания, в том числе в задачах из повседневной жизни. Математическое
ожидание бинарной случайной величины. Математическое ожидание суммы
случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия геометрического и
биномиального распределений
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный
метод исследований
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности
распределения. Задачи, приводящие к нормальному распределению. Понятие о
нормальном распределении
Геометрия
Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, ось
цилиндрической поверхности. Цилиндр: основания и боковая поверхность,
образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности
Коническая поверхность, образующие конической поверхности, ось и вершина
конической поверхности. Конус: основание и вершина, образующая и ось,
площадь боковой и полной поверхности. Усеченный конус: образующие и
25
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
высота, основания и боковая поверхность
Сфера и шар: центр, радиус, диаметр, площадь поверхности сферы. Взаимное
расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере, площадь
сферы
Изображение тел вращения на плоскости. Развертка цилиндра и конуса
Комбинации тел вращения и многогранников. Многогранник, описанный
около сферы, сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения
Понятие об объеме. Основные свойства объемов тел. Теорема об объеме
прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее. Объем цилиндра, конуса.
Объем шара и площадь сферы
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей,
объемами подобных тел
Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса
(параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара
Вектор на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число. Разложение вектора по трем некомпланарным
векторам. Решение задач, связанных с применением правил действий с
векторами
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора.
Простейшие задачи в координатах. Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов. Координатно-векторный метод при решении
геометрических задач
Проверяемые на ЕГЭ по математике требования к результатам освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Код
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
проверяемого основной образовательной программы основного общего
требования
образования на основе ФГОС
1
2
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение
формулировать и оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема,
следствие, свойство, признак, доказательство, равносильные формулировки;
применять их; умение формулировать обратное и противоположное
утверждение, приводить примеры и контрпримеры, использовать метод
математической индукции; проводить доказательные рассуждения при
решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений; умение
оперировать понятиями: множество, подмножество, операции над
множествами; умение использовать теоретико-множественный аппарат для
описания реальных процессов и явлений и при решении задач, в том числе из
других учебных предметов; умение оперировать понятиями: граф, связный
граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать и описывать графы
различными способами; использовать графы при решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число, степень с
целым показателем, корень натуральной степени, степень с рациональным
показателем, степень с действительным показателем, логарифм числа, синус,
косинус и тангенс произвольного числа, остаток по модулю, рациональное
число, иррациональное число, множества натуральных, целых, рациональных,
действительных чисел; умение использовать признаки делимости, наименьший
общий делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при решении
задач; знакомство с различными позиционными системами счисления; умение
выполнять вычисление значений и преобразования выражений со степенями и
логарифмами, преобразования дробно-рациональных выражений; умение
оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия,
геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия; умение задавать последовательности, в том числе с помощью
рекуррентных формул; умение оперировать понятиями: комплексное число,
сопряженные комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа,
26
3
4
5
6
7
форма записи комплексных чисел (геометрическая, тригонометрическая и
алгебраическая);
уметь
производить
арифметические
действия
с
комплексными числами; приводить примеры использования комплексных
чисел; оперировать понятиями: матрица 2 × 2 и 3 × 3, определитель матрицы,
геометрический смысл определителя
Умение
оперировать
понятиями:
рациональные,
иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические уравнения и
неравенства, их системы; умение оперировать понятиями: тождество,
тождественное преобразование, уравнение, неравенство, система уравнений и
неравенств, равносильность уравнений, неравенств и систем; умение решать
уравнения, неравенства и системы с помощью различных приемов; решать
уравнения, неравенства и системы с параметром; применять уравнения,
неравенства, их системы для решения математических задач и задач из
различных областей науки и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, четность функции, периодичность
функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум
функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке,
непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая
производная функции, геометрический и физический смысл производной,
первообразная, определенный интеграл; умение находить асимптоты графика
функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и
композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции;
умение находить производные элементарных функций; умение использовать
производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие
значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата
математического анализа; применять производную для нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и
физических задачах; находить площади и объемы фигур с помощью интеграла;
приводить примеры математического моделирования с помощью
дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические функции,
обратные тригонометрические функции, показательная и логарифмическая
функции; умение строить графики изученных функций, выполнять
преобразования графиков функций, использовать графики для изучения
процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и
задач из реальной жизни; выражать формулами зависимости между
величинами; использовать свойства и графики функций для решения
уравнений, неравенств и задач с параметрами; изображать на координатной
плоскости множества решений уравнений, неравенств и их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на проценты, доли
и части, на движение, работу, стоимость товаров и услуг, налоги, задачи из
области управления личными и семейными финансами); составлять
выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи,
исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность результатов;
умение моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять
выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать статистические
данные, в том числе с применением графических методов и электронных
27
8
9
10
11
12
средств; графически исследовать совместные наблюдения с помощью
диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие,
вероятность случайного события; умение вычислять вероятность с
использованием графических методов; применять формулы сложения и
умножения вероятностей, формулу полной вероятности, формулу Бернулли,
комбинаторные факты и формулы; оценивать вероятности реальных событий;
умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной величины, функции распределения и плотности равномерного,
показательного и нормального распределений; умение использовать свойства
изученных распределений для решения задач; знакомство с понятиями: закон
больших чисел, методы выборочных исследований; умение приводить
примеры проявления закона больших чисел в природных и общественных
явлениях; умение оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число
сочетаний, число перестановок; бином Ньютона; умение применять
комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать
вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель и
интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство,
отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол, трехгранный
угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых
и плоскостей, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол
между плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между
прямыми, расстояние между плоскостями; умение использовать при решении
задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение оценивать размеры
объектов окружающего мира; строить математические модели с помощью
геометрических понятий и величин, решать связанные с ними практические
задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объем фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника, куб,
параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность вращения, цилиндр,
конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь поверхности пирамиды, призмы,
конуса, цилиндра, объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды,
призмы, цилиндра, конуса, шара, развертка поверхности, сечения конуса и
цилиндра, параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,
касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение многогранника,
изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения, их сечения, в
том числе с помощью электронных средств; умение применять свойства
геометрических фигур, самостоятельно формулировать определения
изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о свойствах и признаках
геометрических фигур, обосновывать или опровергать их; умение проводить
классификацию фигур по различным признакам, выполнять необходимые
дополнительные построения
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, параллельный
перенос, симметрия на плоскости и в пространстве, поворот, преобразование
подобия, подобные фигуры; умение распознавать равные и подобные фигуры,
в том числе в природе, искусстве, архитектуре; использовать геометрические
отношения при решении задач; находить геометрические величины (длина,
угол, площадь, объем) при решении задач из других учебных предметов и из
реальной жизни; умение вычислять геометрические величины (длина, угол,
площадь, объем, площадь поверхности), используя изученные формулы и
методы, в том числе: площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса,
цилиндра, площадь сферы; объем куба, прямоугольного параллелепипеда,
пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара; умение находить отношение
объемов подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор,
28
13
координаты точки, координаты вектора, сумма векторов, произведение вектора
на число, разложение вектора по базису, скалярное произведение, векторное
произведение, угол между векторами; умение использовать векторный и
координатный метод для решения геометрических задач и задач других
учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных процессов и
явлений; умение распознавать проявление законов математики в искусстве,
умение приводить примеры математических открытий российской и мировой
математической науки
Перечень элементов содержания, проверяемых на ЕГЭ по математике
Код
Проверяемый элемент содержания
1
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1.3
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
1.4
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства
степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
1.6
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.7
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
2
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
29
2.8
Тригонометрические неравенства
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
Функции и графики
3.1
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Ее свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций,
непрерывных на отрезке
3.7
Последовательности, способы задания последовательностей
3.8
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
4
Начала математического анализа
4.1
Производная функции. Производные элементарных функций
4.2
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
4.3
Первообразная. Интеграл
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
30
6.3
Комбинаторика
7
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
7.5
Координаты и векторы
