Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Кореизская средняя школа
имени Героя Советского Союза П.П.Кулешова»
муниципального образования городской округ Ялта
Республики Крым
Рассмотрено
на методическом
объединении
Прот. № 1 от 28.08. 2025 г.
Руководитель
______ Тулупов Г.Ф.
Согласовано
замдиректора по УВР
________ Щербина Г.И.
Утверждено
директор школы
_________ Баранов О.В.
Пр. № 242 от 28.08.2025 г.
Рабочая программа
по алгебре и началам математического анализа
(соответствует федеральной рабочей программе)
для обучающихся 10-11 классов
базовый уровень ФГОС СОО
на 2025-2026 учебный год
учителя Бубновой Антонины Ананьевны
2025 г.
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данная рабочая программа предназначена для 10 - 11 классов МБОУ «Кореизская
СШ»
Учебный курс «Алгебра и начала математического анализа» является одним из
наиболее значимых в программе среднего общего образования, поскольку, с одной стороны,
он обеспечивает инструментальную базу для изучения всех естественно-научных курсов, а с
другой стороны, формирует логическое и абстрактное мышление обучающихся на уровне,
необходимом для освоения учебных курсов информатики, обществознания, истории,
словесности. В рамках учебного курса «Алгебра и начала математического анализа»
обучающиеся овладевают универсальным языком современной науки, которая формулирует
свои достижения в математической форме. Учебный курс алгебры и начал математического
анализа закладывает основу для успешного овладения законами физики, химии, биологии,
понимания основных тенденций экономики и общественной жизни, позволяет
ориентироваться в современных цифровых и компьютерных технологиях, уверенно
использовать их в повседневной жизни. В тоже время овладение абстрактными и логически
строгими математическими конструкциями развивает умение находить закономерности,
обосновывать истинность утверждения, использовать обобщение и конкретизацию,
абстрагирование и аналогию, формирует креативное и критическое мышление. В ходе
изучения алгебры и начал математического анализа на уровне среднего общего образования
обучающиеся получают новый опыт решения прикладных задач, самостоятельного
построения математических моделей реальных ситуаций и интерпретации полученных
решений, знакомятся с примерами математических закономерностей в природе, науке и в
искусстве, с выдающимися математическими открытиями и их авторами. Учебный курс
алгебры и начал математического анализа обладает значительным воспитательным
потенциалом, который реализуется как через учебный материал, способствующий
формированию научного мировоззрения, так и через специфику учебной деятельности,
требующей самостоятельности, аккуратности, продолжительной концентрации внимания и
ответственности за полученный результат. В основе методики обучения алгебре и началам
математического анализа лежит деятельностный принцип обучения. В структуре программы
по алгебре и началам анализа выделяются следующие содержательно-методические линии:
«Числа и вычисления», «Функции и графики», «Уравнения и неравенства», «Начала
математического анализа», «Множества и логика». Все основные содержательнометодические линии изучаются на протяжении двух лет обучения на уровне среднего общего
образования, естественно дополняя друг друга и постепенно насыщаясь новыми темами и
разделами. Данный учебный курс является интегративным, поскольку объединяет в себе
содержание
нескольких
математических
дисциплин:
алгебра,
тригонометрия,
математический анализ, теория множеств и другие. По мере того как обучающиеся
овладевают все более широким математическим аппаратом, у них последовательно
формируется и совершенствуется умение строить математическую модель реальной
ситуации, применять знания, полученные в учебном курсе «Алгебра и начала
математического анализа», для решения самостоятельно сформулированной математической
задачи, а затем интерпретировать полученный результат. Содержательно-методическая
линия «Числа и вычисления» завершает формирование навыков использования
действительных чисел, которое было начато на уровне основного общего образования. На
уровне среднего общего образования особое внимание уделяется формированию прочных
вычислительных навыков, включающих в себя использование различных форм записи
действительного числа, умение рационально выполнять действия с ними, делать прикидку,
оценивать результат. Обучающиеся получают навыки приближенных вычислений,
выполнения действий с числами, записанными в стандартной форме, использования
математических констант, оценивания числовых выражений. Содержательная линия
«Уравнения и неравенства» реализуется на протяжении всего обучения на уровне среднего
общего образования, поскольку в каждом разделе программы предусмотрено решение
3
соответствующих задач. Обучающиеся овладевают различными методами решения целых,
рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических
уравнений, неравенств и их систем. Полученные умения используются при исследовании
функций с помощью производной, решении прикладных задач и задач на нахождение
наибольших и наименьших значений функции. Данная содержательная линия включает в
себя также формирование умений выполнять расчеты по формулам, преобразования целых,
рациональных, иррациональных и тригонометрических выражений, а также выражений,
содержащих степени и логарифмы. Благодаря изучению алгебраического материала
происходит дальнейшее развитие алгоритмического и абстрактного мышления
обучающихся, формируются навыки дедуктивных рассуждений, работы с символьными
формами, представления закономерностей и зависимостей в виде равенств и неравенств.
Алгебра предлагает эффективные инструменты для решения практических и естественнонаучных задач, наглядно демонстрирует свои возможности как языка науки. Содержательнометодическая линия «Функции и графики» тесно переплетается с другими линиями учебного
курса, поскольку в каком-то смысле задает последовательность изучения материала.
Изучение степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций, их
свойств и графиков, использование функций для решения задач из других учебных
предметов и реальной жизни тесно связано как с математическим анализом, так и с
решением уравнений и неравенств. При этом большое внимание уделяется формированию
умения выражать формулами зависимости между различными величинами, исследовать
полученные функции, строить их графики. Материал содержательной линии нацелен на
развитие умений и навыков, позволяющих выражать зависимости между величинами в
различной форме: аналитической, графической и словесной. Его изучение способствует
развитию алгоритмического мышления, способности к обобщению и конкретизации,
использованию аналогий. Содержательная линия «Начала математического анализа»
позволяет существенно расширить круг как математических, так и прикладных задач,
доступных обучающимся, у которых появляется возможность исследовать и строить графики
функций, определять их наибольшие и наименьшие значения, вычислять площади фигур и
объемы тел, находить скорости и ускорения процессов. Содержательная линия открывает
новые возможности построения математических моделей реальных ситуаций, нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах.
Знакомство с основами математического анализа способствует развитию абстрактного,
формально-логического и креативного мышления, формированию умений распознавать
проявления законов математики в науке, технике и искусстве. Обучающиеся узнают о
выдающихся результатах, полученных в ходе развития математики как науки, и их авторах.
Содержательно-методическая линия «Множества и логика» в основном посвящена
элементам теории множеств. Теоретико-множественные представления пронизывают весь
курс школьной математики и предлагают наиболее универсальный язык, объединяющий все
разделы математики и ее приложений, они связывают разные математические дисциплины в
единое целое. Поэтому важно дать возможность обучающемуся понимать теоретикомножественный язык современной математики и использовать его для выражения своих
мыслей. В учебном курсе «Алгебра и начала математического анализа» присутствуют также
основы математического моделирования, которые призваны сформировать навыки
построения моделей реальных ситуаций, исследования этих моделей с помощью аппарата
алгебры и математического анализа и интерпретации полученных результатов. Такие
задания вплетены в каждый из разделов программы, поскольку весь материал учебного курса
широко используется для решения прикладных задач. При решении реальных практических
задач обучающиеся развивают наблюдательность, умение находить закономерности,
абстрагироваться, использовать аналогию, обобщать и конкретизировать проблему.
Деятельность по формированию навыков решения прикладных задач организуется в
процессе изучения всех тем учебного курса «Алгебра и начала математического анализа».
Общее число часов, рекомендованных для изучения учебного курса «Алгебра и начала
4
математического анализа», – 170 часов: в 10 классе – 68 часов (2 часа в неделю), в 11 классе
–102 часа (3 часа в неделю).
Рабочая программа по предмету «Алгебра и начала математического» в 10-11 классах
составлена в соответствии с:
Методическими рекомендациями об особенностях преподавания алгебры и начала
математического анализа в общеобразовательных организациях Республики Крым в 20252026 учебном году
Основной образовательной программы алгебры и начала математического анализа
среднего общего образования (ФГОС), утверждённой приказом МБОУ «Кореизская СШ» от
28.08.2025 г. № 236;
Учебными планами среднего общего образования (ФГОС) МБОУ «Кореизская СШ»,
утверждёнными приказом от 28.08.08.2025 года № 237;
Положением о рабочей программе учебных предметов МБОУ «Кореизская СШ»,
утверждённым приказом от 28.08.2025 №242.
В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом
среднего общего образования учебный предмет «алгебра и начала математического анализа»
входит в предметную область «математика» и является обязательным для изучения.
Содержание учебного предмета «алгебра и начала математического анализа»,
представленное в рабочей программе, соответствует ФГОС СОО ФРП предмета
«математика».
Учебным планом на изучение алгебры начала математического анализа в 10 классе
отводится - 68 ч. (2 часа в неделю), в 11 классе отводится - 102 ч. (3 часа в неделю).
Программа ориентирована на использование учебников:
5
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
10 КЛАСС
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные
периодические дроби. Арифметические операции с рациональными числами,
преобразования числовых выражений. Применение дробей и процентов для решения
прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни. Действительные числа.
Рациональные и иррациональные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата
вычислений. Степень с целым показателем. Стандартная форма записи действительного
числа. Использование подходящей формы записи действительных чисел для решения
практических задач и представления данных. Арифметический корень натуральной степени.
Действия с арифметическими корнями натуральной степени. Синус, косинус и тангенс
числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента.
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования. Преобразование тригонометрических
выражений. Основные тригонометрические формулы. Уравнение, корень уравнения.
Неравенство, решение неравенства. Метод интервалов. Решение целых и дробнорациональных уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений и неравенств.
Решение тригонометрических уравнений. Применение уравнений и неравенств к решению
математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции.
Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки
знакопостоянства. Четные и нечетные функции. Степенная функция с натуральным и целым
показателем. Ее свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени.
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового
аргумента.
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Монотонные
последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Формула сложных процентов. Использование прогрессии для решения реальных задач
прикладного характера.
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера–Венна. Применение
теоретико-множественного аппарата для описания реальных процессов и явлений, при
решении задач из других учебных предметов. Определение, теорема, следствие,
доказательство.
11 КЛАСС
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел. Степень с
рациональным показателем. Свойства степени. Логарифм числа. Десятичные и натуральные
логарифмы.
Уравнения и неравенства
Преобразование выражений, содержащих логарифмы. Преобразование выражений,
содержащих степени с рациональным показателем. Примеры тригонометрических
неравенств. Показательные уравнения и неравенства. Логарифмические уравнения и
неравенства. Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью системы
линейных уравнений. Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств.
6
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач и задач из
различных областей науки и реальной жизни.
Функции и графики
Функция. Периодические функции. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Показательная и
логарифмическая функции, их свойства и графики. Использование графиков функций для
решения уравнений и линейных систем. Использование графиков функций для исследования
процессов и зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных
предметов и реальной жизни.
Начала математического анализа
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения неравенств. Производная
функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные элементарных
функций. Формулы нахождения производной суммы, произведения и частного функций.
Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Применение
производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах, для определения
скорости процесса, заданного формулой или графиком. Первообразная. Таблица
первообразных. Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычисление интеграла
по формуле Ньютона–Лейбница.
ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения программы учебного курса «Алгебра» к концу
обучения в 10 классе.
Числа и вычисления:
оперировать понятиями: рациональное и действительное число, обыкновенная и
десятичная дробь, проценты; выполнять арифметические операции с рациональными и
действительными числами; выполнять приближенные вычисления, используя правила
округления, делать прикидку и оценку результата вычислений; оперировать понятиями:
степень с целым показателем, стандартная форма записи действительного числа, корень
натуральной степени, использовать подходящую форму записи действительных чисел для
решения практических задач и представления данных; оперировать понятиями: синус,
косинус и тангенс произвольного угла, использовать запись произвольного угла через
обратные тригонометрические функции.
Уравнения и неравенства:
оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое, рациональное,
иррациональное уравнение, неравенство, тригонометрическое уравнение; выполнять
преобразования тригонометрических выражений и решать тригонометрические уравнения;
выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных выражений и решать
основные типы целых, рациональных и иррациональных уравнений и неравенств; применять
уравнения и неравенства для решения математических задач и задач из различных областей
науки и реальной жизни; моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с
использованием аппарата алгебры.
Функции и графики:
оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область определения и
множество значений функции, график функции, взаимно обратные функции; оперировать
понятиями: четность и нечетность функции, нули функции, промежутки знакопостоянства;
использовать графики функций для решения уравнений; строить и читать графики линейной
функции, квадратичной функции, степенной функции с целым показателем; использовать
графики функций для исследования процессов и зависимостей при решении задач из других
учебных предметов и реальной жизни, выражать формулами зависимости между
величинами.
7
Начала математического анализа:
оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая
прогрессии; оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии; задавать последовательности
различными способами; использовать свойства последовательностей и прогрессий для
решения реальных задач прикладного характера.
Множества и логика:
оперировать понятиями: множество, операции над множествами; использовать
теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений, при
решении задач из других учебных предметов; оперировать понятиями: определение, теорема,
следствие, доказательство.
Предметные результаты освоения программы учебного курса к концу обучения в 11
классе.
Числа и вычисления:
оперировать понятиями: натуральное, целое число, использовать признаки
делимости целых чисел, разложение числа на простые множители для решения задач;
оперировать понятием: степень с рациональным показателем; оперировать понятиями:
логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы.
Уравнения и неравенства:
применять свойства степени для преобразования выражений, оперировать
понятиями: показательное уравнение и неравенство, решать основные типы показательных
уравнений и неравенств; выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы,
оперировать понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство, решать основные типы
логарифмических
уравнений
и
неравенств;
находить
решения
простейших
тригонометрических неравенств; оперировать понятиями: система линейных уравнений и ее
решение, использовать систему линейных уравнений для решения практических задач;
находить решения простейших систем и совокупностей рациональных уравнений и
неравенств; моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения,
уравнения, неравенства и системы по условию задачи, исследовать построенные модели с
использованием аппарата алгебры.
Функции и графики:
оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки монотонности
функции, точки экстремума функции, наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке, использовать их для исследования функции, заданной графиком; оперировать
понятиями: графики показательной, логарифмической и тригонометрических функций,
изображать их на координатной плоскости и использовать для решения уравнений и
неравенств; изображать на координатной плоскости графики линейных уравнений и
использовать их для решения системы линейных уравнений; использовать графики функций
для исследования процессов и зависимостей из других учебных дисциплин.
Начала математического анализа:
оперировать понятиями: непрерывная функция, производная функции, использовать
геометрический и физический смысл производной для решения задач; находить производные
элементарных функций, вычислять производные суммы, произведения, частного функций;
использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы,
применять результаты исследования к построению графиков; использовать производную для
нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических,
задачах; оперировать понятиями: первообразная и интеграл, понимать геометрический и
физический смысл интеграла; находить первообразные элементарных функций, вычислять
интеграл по формуле Ньютона–Лейбница; решать прикладные задачи, в том числе
социально-экономического и физического характера, средствами математического анализа.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
8
10 класс
№
п/п
Наименование
разделов
и тем учебного
предмета
Кол
ичес
тво
часо
в
1
Множества
14
рациональных и
действительных
чисел.
Рациональные
уравнения
и
неравенства
2
Функции
графики.
Степень
целым
показателем
и 6
с
Программное
содержание
Основные виды деятельности
обучающихся
Множество, операции
над
множествами.
Диаграммы
Эйлера–
Венна. Рациональные
числа. Обыкновенные и
десятичные
дроби,
проценты, бесконечные
периодические дроби.
Арифметические
операции
с
рациональными
числами,
преобразования
числовых выражений.
Применение дробей и
процентов для решения
прикладных задач из
различных
отраслей
знаний и реальной
жизни. Действительные
числа. Рациональные и
иррациональные числа.
Арифметические
операции
с
действительными
числами.
Приближенные
вычисления,
правила
округления, прикидка и
оценка
результата
вычислений. Тождества
и
тождественные
преобразования.
Уравнение,
корень
уравнения.
Неравенство, решение
неравенства.
Метод
интервалов.
Решение
целых
и
дробнорациональных
уравнений и неравенств
Функция,
способы
задания
функции.
Взаимно
обратные
функции.
График
функции.
Область
Использовать
теоретикомножественный
аппарат для описания хода
решения математических задач,
а также реальных процессов и
явлений, при решении задач из
других учебных предметов.
Оперировать
понятиями:
рациональное
число,
действительное
число,
обыкновенная дробь, десятичная
дробь, проценты. Выполнять
арифметические операции с
рациональными
и
действительными
числами;
приближенные
вычисления,
используя правила округления.
Делать прикидку и оценку
результата
вычислений.
Оперировать
понятиями:
тождество,
уравнение,
неравенство;
целое
и
рациональное
уравнение,
неравенство.
Выполнять
преобразования
целых
и
рациональных
выражений.
Решать основные типы целых
иррациональных уравнений и
неравенств.
Применять
рациональные
уравнения
и
неравенства
для
решения
математических задач и задач из
различных областей науки и
реальной жизни
Электр
онные
(цифро
вые)
образо
ватель
ные
ресурс
ы
Библио
тека
ЦОК
https://
m.edsoo
.ru
Оперировать
понятиями: https://
функция,
способы
задания m.edsoo
функции, взаимно обратные .ru
функции, область определения и
множество значений функции,
9
3
Арифметически 18
й корень n–ой
степени.
Иррациональны
е уравнения и
неравенства
4
Формулы
тригонометрии.
Тригонометрич
еские
уравнения
22
5
Последовательн
5
определения
и
множество
значений
функции.
Нули
функции. Промежутки
знакопостоянства.
Четные и нечетные
функции. Степень с
целым
показателем.
Стандартная
форма
записи действительного
числа. Использование
подходящей
формы
записи действительных
чисел для решения
практических задач и
представления данных.
Степенная функция с
натуральным и целым
показателем.
Ее
свойства и график
Арифметический
корень
натуральной
степени. Действия с
арифметическими
корнями n–ой степени.
Решение
иррациональных
уравнений
и
неравенств. Свойства и
график корня n-ой
степени
график функции; четность и
нечетность
функции,
нули
функции,
промежутки
знакопостоянства.
Выполнять
преобразования
степеней
с
целым
показателем.
Использовать
стандартную
форму записи действительного
числа.
Формулировать
и
иллюстрировать
графически
свойства степенной функции.
Выражать
формулами
зависимости между величинами.
Использовать
цифровые
ресурсы
для
построения
графиков функции и изучения
их свойств
Формулировать, записывать в
символической
форме
и
иллюстрировать
примерами
свойства корня n-ой степени.
Выполнять
преобразования
иррациональных
выражений.
Решать
основные
типы
иррациональных уравнений и
неравенств. Применять для
решения
различных
задач
иррациональные уравнения и
неравенства. Строить, читать
график корня n-ой степени.
Использовать
цифровые
ресурсы
для
построения
графиков функций и изучения
их свойств
Оперировать понятиями: синус,
косинус
и
тангенс
произвольного
угла.
Использовать
запись
произвольного
угла
через
обратные тригонометрические
функции.
Выполнять
преобразования
тригонометрических
выражений. Решать основные
типы
тригонометрических
уравнений
Синус,
косинус
и
тангенс
числового
аргумента. Арксинус,
арккосинус
и
арктангенс числового
аргумента.
Тригонометрическая
окружность,
определение
тригонометрических
функций
числового
аргумента. Основные
тригонометрические
формулы.
Преобразование
тригонометрических
выражений.
Решение
тригонометрических
уравнений
Последовательности,
Оперировать
https://
m.edsoo
.ru
https://
m.edsoo
.ru
понятиями: https://
10
ости
прогрессии
6
и
Повторение и 3
обощение
способы
задания
последовательностей.
Монотонные
последовательности.
Арифметическая
и
геометрическая
прогрессии. Бесконечно
убывающая
геометрическая
прогрессия.
Сумма
бесконечно убывающей
геометрической
прогрессии. Формула
сложных
процентов.
Использование
прогрессии
для
решения
реальных
задач
прикладного
характера
Основные
понятия
курса алгебры и начал
математического
анализа
10
класса,
обобщение
и
систематизация знаний
последовательность,
m.edsoo
арифметическая
и .ru
геометрическая
прогрессии;
бесконечно
убывающая
геометрическая
прогрессия,
сумма бесконечно убывающей
геометрической
прогрессии.
Задавать
последовательности
различными
способами.
Применять формулу сложных
процентов для решения задач из
реальной
практики
(с
использованием калькулятора).
Использовать
свойства
последовательностей
и
прогрессий
для
решения
реальных задач прикладного
характера
Программное
содержание
Основные виды деятельности
обучающихся
Общее
количество
часов
11 класс
68
№
п/п
Наименование
разделов
и тем учебного
предмета
Кол
ичес
тво
часо
в
1
Степень
с 12
рациональным
показателем.
Показательная
функция.
Показательные
уравнения
и
неравенства
Степень
с
рациональным
показателем. Свойства
степени.
Преобразование
выражений,
содержащих
рациональные степени.
Показательные
уравнения
и
неравенства.
Показательная
функция, ее свойства и
график
2
Логарифмическ 12
ая
функция.
Логарифм
Десятичные
Применять основные понятия https://
курса
алгебры
и
начал m.edsoo
математического анализа для .ru
решения задач из реальной
жизни и других школьных
дисциплин
Электр
онные
(цифро
вые)
образо
ватель
ные
ресурс
ы
Библио
тека
ЦОК
https://
m.edsoo
.ru
Формулировать, записывать в
символической
форме
и
иллюстрировать
примерами
свойства степени. Применять
свойства
степени
для
преобразования
выражений.
Формулировать
и
иллюстрировать
графически
свойства
показательной
функции. Решать основные
типы показательных уравнений
и неравенств. Использовать
цифровые
ресурсы
для
построения графиков функций и
изучения их свойств
числа. Формулировать, записывать в https://
и символической
форме
и m.edsoo
11
Логарифмическ
ие уравнения и
неравенства
3
Тригонометрич 9
еские функции
и их графики.
Тригонометрич
еские
неравенства
4
Производная.
Применение
производной
24
натуральные
иллюстрировать
примерами
логарифмы.
свойства логарифма. Выполнять
Преобразование
преобразования
выражений,
выражений,
содержащих
логарифмы.
содержащих
Формулировать
и
логарифмы.
иллюстрировать
графически
Логарифмические
свойства
логарифмической
уравнения
и функции. Решать основные
неравенства.
типы
логарифмических
Логарифмическая
уравнений
и
неравенств.
функция, ее свойства и Использовать
цифровые
график
ресурсы
для
построения
графиков функций и изучения
их свойств. Знакомиться с
историей развития математики
Тригонометрические
Оперировать
понятием
функции, их свойства и периодическая
функция.
графики.
Примеры Строить,
анализировать,
тригонометрических
сравнивать
графики
неравенств
тригонометрических функций.
Формулировать
и
иллюстрировать
графически
свойства
тригонометрических
функций. Решать простейшие
тригонометрические
неравенства.
Использовать
графики
для
решения
тригонометрических неравенств.
Использовать
цифровые
ресурсы
для
построения
графиков функций и изучения
их свойств
Непрерывные функции. Оперировать
понятиями:
Метод интервалов для непрерывная
функция;
решения
неравенств. производная
функции.
Производная функции. Использовать геометрический и
Геометрический
и физический смысл производной
физический
смысл для решения задач. Находить
производной.
производные
элементарных
Производные
функций,
вычислять
элементарных
производные
суммы,
функций. Производная произведения,
частного
суммы, произведения, функций.
Использовать
частного
функций. производную для исследования
Применение
функции на монотонность и
производной
к экстремумы,
применять
исследованию функций результаты
исследования
к
на монотонность и построению
графиков.
экстремумы.
Применять производную для
Нахождение
нахождения
наилучшего
наибольшего
и решения в прикладных, в том
наименьшего значения числе
социальнофункции на отрезке. экономических,
задачах.
Применение
Знакомиться
с
историей
производной
для развития
математического
нахождения
анализа
наилучшего решения в
.ru
https://
m.edsoo
.ru
https://
m.edsoo
.ru
12
5
Интеграл и его 9
применения
6
Системы
уравнений
7
Натуральные и 6
целые числа
8
Повторение и 18
обощение
Общее
количество
часов
12
102
прикладных
задачах,
для
определения
скорости
процесса,
заданного
формулой
или графиком
Первообразная.
Таблица
первообразных.
Интеграл,
геометрический
и
физический
смысл
интеграла. Вычисление
интеграла по формуле
Ньютона–Лейбница
Системы
линейных
уравнений.
Решение
прикладных задач с
помощью
системы
линейных уравнений.
Системы
и
совокупности
целых,
рациональных,
иррациональных,
показательных,
логарифмических
уравнений
и
неравенств.
Использование
графиков функций для
решения уравнений и
систем.
Применение
уравнений, систем и
неравенств к решению
математических задач и
задач из различных
областей
науки
и
реальной жизни
Натуральные и целые
числа в задачах из
реальной
жизни.
Признаки
делимости
целых чисел
Оперировать
понятиями:
первообразная,
интеграл.
Находить
первообразные
элементарных
функций;
вычислять интеграл по формуле
Ньютона–Лейбница.
Знакомиться
с
историей
развития
математического
анализа
Оперировать
понятиями:
система линейных уравнений и
ее
решение.
Использовать
систему линейных уравнений
для
решения
практических
задач.
Находить
решения
простейших
систем
и
совокупностей
рациональных
уравнений
и
неравенств.
Использовать графики функций
для
решения
уравнений.
Моделировать
реальные
ситуации на языке алгебры,
составлять
выражения,
уравнения,
неравенства
и
системы по условию задачи,
исследовать
построенные
модели
с
использованием
аппарата алгебры
https://
m.edsoo
.ru
Оперировать
понятиями:
натуральное число, целое число.
Использовать
признаки
делимости
целых
чисел,
разложение числа на простые
множители для решения задач
Основные
понятия Решать прикладные задачи из
курса алгебры и начал различных областей науки и
математического
реальной жизни с помощью
анализа, обобщение и основных
понятий
курса
систематизация знаний алгебры
и
начал
математического
анализа.
Выбирать оптимальные способы
вычислений. Использовать для
решения
задач
уравнения,
неравенства
https://
m.edsoo
.ru
https://
m.edsoo
.ru
https://
m.edsoo
.ru
13
ПЕРЕЧЕНЬ (КОДИФИКАТОР) ПРОВЕРЯЕМЫХ ТРЕБОВАНИЙ К РЕЗУЛЬТАТАМ
ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ О С Н О В Н О Г О
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
10 КЛАСС
Проверяемые
программы
Код
проверяемог
о результата
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4
4.1
4.2
требования
к
результатам
освоения
основной
образовательной
Проверяемые
предметные
результаты
освоения
основной
образовательной программы основного общего образования
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: рациональное и действительное число, обыкновенная и
десятичная дробь, проценты
Выполнять арифметические операции с рациональными и действительными
числами
Выполнять приближенные вычисления, используя правила округления, делать
прикидку и оценку результата вычислений
Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная форма записи
действительного числа, корень натуральной степени; использовать подходящую
форму записи действительных чисел для решения практических задач и
представления данных
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного угла;
использовать запись произвольного угла через обратные тригонометрические
функции
Уравнения и неравенства
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое,
рациональное, иррациональное уравнение, неравенство, тригонометрическое
уравнение
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать
тригонометрические уравнения
Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных выражений и
решать основные типы целых, рациональных и иррациональных уравнений и
неравенств
Применять уравнения и неравенства для решения математических задач и задач
из различных областей науки и реальной жизни
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения,
уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с
использованием аппарата алгебры
Функции и графики
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область
определения и множество значений функции, график функции, взаимно обратные
функции
Оперировать понятиями: четность и нечетность функции, нули функции,
промежутки знакопостоянства
Использовать графики функций для решения уравнений
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной функции, степенной
функции с целым показателем
Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей при
решении задач из других учебных предметов и реальной жизни, выражать
формулами зависимости между величинами
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая
прогрессии
Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
14
4.3
4.4
5
5.1
5.2
5.3
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Задавать последовательности различными способами
Использовать свойства последовательностей и прогрессий для решения реальных
задач прикладного характера
Множества и логика
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами
Использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов
Оперировать понятиями: определение, теорема, следствие, доказательство
Теория вероятностей и статистика
Читать и строить таблицы и диаграммы
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее,
наименьшее значение, размах массива числовых данных
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие,
элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта; находить
вероятности в опытах с равновозможными случайными событиями, находить и
сравнивать вероятности событий в изученных случайных экспериментах
Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных
событий, событие, противоположное данному событию; пользоваться
диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события; находить
вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного
опыта
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний,
успех и неудача; находить вероятности событий в серии независимых испытаний
до первого успеха, находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли
Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
диаграмма распределения
Геометрия
Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость
Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении
геометрических задач
Оперировать понятиями: параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей
Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла, ребро
двугранного угла, линейный угол двугранного угла, градусная мера двугранного
угла
Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый многогранник,
элементы многогранника, правильный многогранник
Распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма, прямоугольный
параллелепипед, куб)
Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации
(выпуклые и невыпуклые многогранники, правильные многогранники, прямые и
наклонные призмы, параллелепипеды)
Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников
Объяснять принципы построения сечений многогранников, используя метод
следов
Строить сечения многогранников методом следов, выполнять (выносные) плоские
чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных математических задач на вычисление расстояний между двумя
точками, от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися
15
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
прямыми
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных
математических
задач
на
вычисление
углов
между
скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями,
двугранных углов
Вычислять объемы и площади поверхностей многогранников (призма, пирамида)
с применением формул, вычислять соотношения между площадями поверхностей,
объемами подобных многогранников
Оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость
симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры
Извлекать,
преобразовывать
и
интерпретировать
информацию
о
пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и
рисунках
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач,
предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в
явной форме
Применять простейшие программные средства и электроннокоммуникационные
системы при решении стереометрических задач
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни,
распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и
применять изученные понятия в процессе поиска решения математически
сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических
понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с
нахождением геометрических величин
Проверяемые элементы содержания
Код
Проверяемый элемент содержания
1
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
периодические дроби. Арифметические операции с рациональными числами,
преобразования числовых выражений. Применение дробей и процентов для
решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа. Арифметические
операции с действительными числами. Приближенные вычисления, правила
округления, прикидка и оценка результата вычислений
Степень с целым показателем. Стандартная форма записи действительного числа.
Использование подходящей формы записи действительных чисел для решения
практических задач и представления данных
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс
числового аргумента
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования
Преобразование тригонометрических выражений. Основные тригонометрические
формулы
Уравнение, корень уравнения. Неравенство, решение неравенства. Метод
интервалов
Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств
Решение иррациональных уравнений и неравенств
Решение тригонометрических уравнений
Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач из
16
различных областей науки и реальной жизни
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
5
5.1
5.2
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
7
7.1
7.2
7.3
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Четные и нечетные функции
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Ее свойства и график.
Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций
числового аргумента
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Монотонные
последовательности
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Формула сложных процентов. Использование прогрессии для
решения реальных задач прикладного характера
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна. Применение
теоретико-множественного аппарата для описания реальных процессов и явлений,
при решении задач из других учебных предметов
Определение, теорема, следствие, доказательство
Теория вероятностей и статистика
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее арифметическое,
медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное
отклонение числовых наборов
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события
(исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и вероятности
событий. Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями.
Вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной вероятности. Независимые события
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число
сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые
испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха. Серия независимых
испытаний Бернулли
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения.
Примеры распределений, в том числе геометрическое и биномиальное
Геометрия
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство.
Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и
следствия из них
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные
и скрещивающиеся прямые. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве:
параллельные прямые в пространстве, параллельность трех прямых,
параллельность прямой и плоскости. Углы с сонаправленными сторонами, угол
между прямыми в пространстве. Параллельность плоскостей: параллельные
плоскости, свойства параллельных плоскостей. Простейшие пространственные
фигуры на плоскости: тетраэдр, куб, параллелепипед, построение сечений
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в
пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак
перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной
плоскости. Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью, двугранный
17
7.4
7.5
7.6
7.7
11 класс
Проверяемые
программы
Код
проверяемог
о результата
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3
3.1
угол, линейный угол двугранного угла. Перпендикуляр и наклонные: расстояние
от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на
плоскость. Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух
плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах
Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и
невыпуклые многогранники, развертка многогранника. Призма: n-угольная
призма, грани и основания призмы, прямая и наклонная призмы, боковая и полная
поверхность призмы. Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его
свойства. Пирамида: n-угольная пирамида, грани и основание пирамиды, боковая
и полная поверхность пирамиды, правильная и усеченная пирамида. Элементы
призмы и пирамиды. Правильные многогранники: понятие правильного
многогранника, правильная призма и правильная пирамида, правильная
треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб. Представление о правильных
многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэд Сечения призмы и пирамиды
Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой, плоскости.
Элементы
симметрии
в
пирамидах,
параллелепипедах,
правильных
многогранниках
Вычисление элементов многогранников: ребра, диагонали, углы. Площадь
боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований,
теорема о боковой поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности и
поверхности правильной пирамиды, теорема о площади усеченной пирамиды.
Понятие об объеме. Объем пирамиды, призмы
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей,
объемами подобных тел
требования
к
результатам
освоения
основной
образовательной
Проверяемые
предметные
результаты
освоения
основной
образовательной программы основного общего образования
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: натуральное, целое число; использовать признаки
делимости целых чисел, разложение числа на простые множители для решения
задач
Оперировать понятием: степень с рациональным показателем
Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы
Уравнения и неравенства
Применять свойства степени для преобразования выражений, оперировать
понятиями: показательное уравнение и неравенство; решать основные типы
показательных уравнений и неравенств
Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы; оперировать
понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство; решать основные типы
логарифмических уравнений и неравенств
Находить решения простейших тригонометрических неравенств
Оперировать понятиями: система линейных уравнений и ее решение;
использовать систему линейных уравнений для решения практических задач
Находить решения простейших систем и совокупностей рациональных уравнений
и неравенств
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения,
уравнения, неравенства и системы по условию задачи, исследовать построенные
модели с использованием аппарата алгебры
Функции и графики
Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки монотонности
функции, точки экстремума функции, наибольшее и наименьшее значения
18
3.2
3.3
3.4
4
4.1126126
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5
5.1
5.2
5.3
5.4
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
функции на промежутке; использовать их для исследования функции, заданной
графиком
Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и
тригонометрических функций; изображать их на координатной плоскости и
использовать для решения уравнений и неравенств
Изображать на координатной плоскости графики линейных уравнений и
использовать их для решения системы линейных уравнений
Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей из
других учебных дисциплин
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: непрерывная функция, производная функции;
использовать геометрический и физический смысл производной для решения
задач
Находить производные элементарных функций, вычислять производные суммы,
произведения, частного функций
Использовать производную для исследования функции на монотонность и
экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков
Использовать производную для нахождения наилучшего решения в прикладных,
в том числе социально-экономических, задачах
Оперировать понятиями: первообразная и интеграл; понимать геометрический и
физический смысл интеграла
Находить первообразные элементарных функций, вычислять интеграл по формуле
Ньютона – Лейбница
Решать прикладные задачи, в том числе социальноэкономического и физического
характера, средствами математического анализа
Теория вероятностей и статистика
Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с
помощью диаграмм
Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры того, как
применяется математическое ожидание случайной величины, находить
математическое ожидание по данному распределению
Иметь представление о законе больших чисел
Иметь представление о нормальном распределении
Геометрия
Оперировать
понятиями:
цилиндрическая
поверхность,
образующие
цилиндрической поверхности, цилиндр, коническая поверхность, образующие
конической поверхности, конус, сферическая поверхность
Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар)
Объяснять способы получения тел вращения
Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости
Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента, высота сегмента,
шаровой слой, основание шарового слоя, высота шарового слоя, шаровой сектор
Вычислять объемы и площади поверхностей тел вращения, геометрических тел с
применением формул
Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и описанный около
сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения
Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объемами подобных
тел
Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертежных
инструментов
Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур:
вид сверху, сбоку, снизу; строить сечения тел вращения
Извлекать,
интерпретировать
и
преобразовывать
информацию
о
пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и
рисунках
19
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач,
предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в
явной форме
Оперировать понятием: вектор в пространстве
Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и умножения
вектора на число, объяснять, какими свойствами они обладают
Применять правило параллелепипеда при сложении векторов
Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве, вектор, модуль
вектора, равенство векторов, координаты вектора, угол между векторами,
скалярное произведение векторов, коллинеарные и компланарные векторы
Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол между
векторами, скалярное произведение, раскладывать вектор по двум
неколлинеарным векторам
Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат
Решать простейшие геометрические задачи на применение векторнокоординатного метода
Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение
геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные
методы при решении стандартных математических задач
Применять простейшие программные средства и электроннокоммуникационные
системы при решении стереометрических задач
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни,
распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и
применять изученные понятия в процессе поиска решения математически
сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических
понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с
нахождением геометрических величин
Проверяемые элементы содержания
Код
Проверяемый элемент содержания
1
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.1
Степень с рациональным показателем. Свойства степени
1.2
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.3
2
Уравнения и неравенства
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
2.1
Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем
2.2
Примеры тригонометрических неравенств
2.3
Показательные уравнения и неравенства
2.4
Логарифмические уравнения и неравенства
2.5
Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью системы
2.6
2.7
2.8
3
3.1
3.2
3.3
3.4
линейных уравнений
Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач и
задач из различных областей науки и реальной жизни
Функции и графики
Функция. Периодические функции. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции
на промежутке
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Использование графиков функций для решения уравнений и линейных систем
20
3.5
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5
5.1
5.2
5.3
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей,
которые возникают при решении задач из других учебных предметов и реальной
жизни
Начала математического анализа
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения неравенств
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной
Производные элементарных функций. Формулы нахождения производной суммы,
произведения и частного функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных
задачах, для определения скорости процесса, заданного формулой или графиком
Первообразная. Таблица первообразных
Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычисление интеграла по
формуле Ньютона – Лейбница
Теория вероятностей и статистика
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия и стандартное отклонение. Примеры применения математического
ожидания, в том числе в задачах из повседневной жизни. Математическое
ожидание бинарной случайной величины. Математическое ожидание суммы
случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия геометрического и
биномиального распределений
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный метод
исследований
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности распределения.
Задачи, приводящие к нормальному распределению. Понятие о нормальном
распределении
Геометрия
Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, ось
цилиндрической поверхности. Цилиндр: основания и боковая поверхность,
образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности
Коническая поверхность, образующие конической поверхности, ось и вершина
конической поверхности. Конус: основание и вершина, образующая и ось,
площадь боковой и полной поверхности. Усеченный конус: образующие и высота,
основания и боковая поверхность
Сфера и шар: центр, радиус, диаметр, площадь поверхности сферы. Взаимное
расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере, площадь сферы
Изображение тел вращения на плоскости. Развертка цилиндра и конуса
Комбинации тел вращения и многогранников. Многогранник, описанный около
сферы, сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения
Понятие об объеме. Основные свойства объемов тел. Теорема об объеме
прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее. Объем цилиндра, конуса.
Объем шара и площадь сферы
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей,
объемами подобных тел
Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса
(параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара
Вектор на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число. Разложение вектора по трем некомпланарным
векторам. Решение задач, связанных с применением правил действий с векторами
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора.
Простейшие задачи в координатах. Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов. Координатно-векторный метод при решении
геометрических задач
21
Проверяемые на ЕГЭ по математике требования к результатам освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Код
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
проверяемог основной образовательной программы основного общего образования
о требования на основе ФГОС
1
2
3
4
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение
формулировать и оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема,
следствие, свойство, признак, доказательство, равносильные формулировки;
применять их; умение формулировать обратное и противоположное утверждение,
приводить примеры и контрпримеры, использовать метод математической
индукции; проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать
логическую правильность рассуждений; умение оперировать понятиями:
множество, подмножество, операции над множествами; умение использовать
теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений и
при решении задач, в том числе из других учебных предметов; умение
оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости;
умение задавать и описывать графы различными способами; использовать графы
при решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число, степень с
целым показателем, корень натуральной степени, степень с рациональным
показателем, степень с действительным показателем, логарифм числа, синус,
косинус и тангенс произвольного числа, остаток по модулю, рациональное число,
иррациональное число, множества натуральных, целых, рациональных,
действительных чисел; умение использовать признаки делимости, наименьший
общий делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при решении
задач; знакомство с различными позиционными системами счисления; умение
выполнять вычисление значений и преобразования выражений со степенями и
логарифмами, преобразования дробнорациональных выражений; умение
оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия,
геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;
умение задавать последовательности, в том числе с помощью рекуррентных
формул; умение оперировать понятиями: комплексное число, сопряженные
комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа, форма записи
комплексных чисел (геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая);
уметь производить арифметические действия с комплексными числами;
приводить примеры использования комплексных чисел; оперировать понятиями:
матрица 2 × 2 и 3 × 3, определитель матрицы, геометрический смысл
определителя
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные, показательные,
степенные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства, их
системы; умение оперировать понятиями: тождество, тождественное
преобразование, уравнение, неравенство, система уравнений и неравенств,
равносильность уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения,
неравенства и системы с помощью различных приемов; решать уравнения,
неравенства и системы с параметром; применять уравнения, неравенства, их
системы для решения математических задач и задач из различных областей науки
и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, четность функции, периодичность
функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции,
наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная
функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции,
геометрический и физический смысл производной, первообразная, определенный
интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять
производные суммы, произведения, частного и композиции функций, находить
уравнение касательной к графику функции; умение находить производные
22
5
6
7
8
9
элементарных функций; умение использовать производную для исследования
функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить
графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;
применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в
том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и
объемы фигур с помощью интеграла; приводить примеры математического
моделирования с помощью дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция, композиция
функций, линейная функция, квадратичная функция, рациональная функция,
степенная функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические
функции, показательная и логарифмическая функции; умение строить графики
изученных функций, выполнять преобразования графиков функций, использовать
графики для изучения процессов и зависимостей, при решении задач из других
учебных предметов и задач из реальной жизни; выражать формулами зависимости
между величинами; использовать свойства и графики функций для решения
уравнений, неравенств и задач с параметрами; изображать на координатной
плоскости множества решений уравнений, неравенств и их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и
части, на движение, работу, стоимость товаров и услуг, налоги, задачи из области
управления личными и семейными финансами); составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать полученное
решение и оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения,
неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с
использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и
наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное отклонение числового
набора; умение извлекать, интерпретировать информацию, представленную в
таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства реальных процессов и
явлений; представлять информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать
статистические данные, в том числе с применением графических методов и
электронных средств; графически исследовать совместные наблюдения с
помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие,
вероятность случайного события; умение вычислять вероятность с
использованием графических методов; применять формулы сложения и
умножения вероятностей, формулу полной вероятности, формулу Бернулли,
комбинаторные факты и формулы; оценивать вероятности реальных событий;
умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной величины, функции распределения и плотности равномерного,
показательного и нормального распределений; умение использовать свойства
изученных распределений для решения задач; знакомство с понятиями: закон
больших чисел, методы выборочных исследований; умение приводить примеры
проявления закона больших чисел в природных и общественных явлениях;
умение оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний, число
перестановок; бином Ньютона; умение применять комбинаторные факты и
рассуждения для решения задач; оценивать вероятности реальных событий;
составлять вероятностную модель и интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок,
луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол, трехгранный угол,
скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между
плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми,
расстояние между плоскостями; умение использовать при решении задач
изученные факты и теоремы планиметрии; умение оценивать размеры объектов
окружающего мира; строить математические модели с помощью геометрических
23
10
11
12
13
понятий и величин, решать связанные с ними практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объем фигуры, многогранник,
правильный многогранник, сечение многогранника, куб, параллелепипед, призма,
пирамида, фигура и поверхность вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь
сферы, площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объем куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара,
развертка поверхности, сечения конуса и цилиндра, параллельные оси или
основанию, сечение шара, плоскость, касающаяся сферы, цилиндра, конуса;
умение строить сечение многогранника, изображать многогранники, фигуры и
поверхности вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств;
умение
применять
свойства
геометрических
фигур,
самостоятельно
формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о свойствах и
признаках геометрических фигур, обосновывать или опровергать их; умение
проводить классификацию фигур по различным признакам, выполнять
необходимые дополнительные построения
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, параллельный
перенос, симметрия на плоскости и в пространстве, поворот, преобразование
подобия, подобные фигуры; умение распознавать равные и подобные фигуры, в
том числе в природе, искусстве, архитектуре; использовать геометрические
отношения при решении задач; находить геометрические величины (длина, угол,
площадь, объем) при решении задач из других учебных предметов и из реальной
жизни; умение вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь,
объем, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы, в том
числе: площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь
сферы; объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы,
цилиндра, конуса, шара; умение находить отношение объемов подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор,
координаты точки, координаты вектора, сумма векторов, произведение вектора на
число, разложение вектора по базису, скалярное произведение, векторное
произведение, угол между векторами; умение использовать векторный и
координатный метод для решения геометрических задач и задач других учебных
предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание значимости
математики в изучении природных и общественных процессов и явлений; умение
распознавать проявление законов математики в искусстве, умение приводить
примеры математических открытий российской и мировой математической науки
Перечень элементов содержания, проверяемых на ЕГЭ по математике
Код
Проверяемый элемент содержания
1
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные
периодические дроби
1.3
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
1.4
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства
степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс
числового аргумента
24
1.6
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.7
Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами.
Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата
вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
2
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
2.8
Тригонометрические неравенства
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
Функции и графики
3.1
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы
и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Ее свойства и график.
Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций, непрерывных
на отрезке
3.7
Последовательности, способы задания последовательностей
25
3.8
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
4
Начала математического анализа
4.1
Производная функции. Производные элементарных функций
4.2
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
4.3
Первообразная. Интеграл
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
6.3
Комбинаторика
7
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
7.5
Координаты и векторы
